L’espérance mathématique de la moyenne d’un n-échantillon
Les n variables aléatoires \displaystyle \big(X_1,X_2\ldots X_i\ldots X_n\big) ont la même espérance mathématique μ.
DONC D’UNE PART : (Propriété 2)
\displaystyle E\big(X_1+X_2+\ldots+X_n\big)=E(X_1)+E(X_2)+\ldots+E(X_n)
\displaystyle E\big(X_1+X_2+\ldots+X_n\big)=\mu+\mu+\ldots+\mu=n\times\mu
ET D’AUTRE PART : (Propriété 1)
\displaystyle E\big(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\big)={\frac{1}{n}\times(E(X_1+X_2+\ldots+X_n)}
OR,
\displaystyle\overline X=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}DONC,
\displaystyle E(\overline X)=\frac{1}{n}\times{n\mu}={\mu}
EN CONCLUSION :
| L’espérance mathématique de la moyenne du n-échantillon est μ. |
La variance de la moyenne d’un n-échantillon
Les n variables aléatoires \displaystyle \big(X_1,X_2\ldots X_i\ldots X_n\big) sont indépendantes et ont la même variance σ2.
DONC D’UNE PART : (Propriété 5)
\displaystyle V\big(X_1+X_2+\ldots+X_n\big)=V(X_1)+V(X_2)+\ldots+V(X_n)
\displaystyle V\big(X_1+X_2+\ldots+X_n\big)=\sigma^2+\sigma^2+\ldots+\sigma^2=n\times\sigma^2
ET D’AUTRE PART : (Propriété 4 : a = 1/n)
\displaystyle V\big(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\big)={\frac{1}{n^2}\times(V(X_1+X_2+\ldots+X_n)}
OR,
\displaystyle\overline X=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}DONC,
\displaystyle V(\overline X)=\frac{1}{n^2}\times{n\sigma^2}={\frac{\sigma^2}{n}}
EN CONCLUSION :
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La variance v de la moyenne du n-échantillon est \displaystyle v\;=\;\frac{\sigma^2}{n} L’écart type \displaystyle \sigma^\prime\ de la moyenne du n-échantillon est \displaystyle \sigma^\prime\;=\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} |