Une mesure répétée deux fois
Par exemple durant une séance de TP chimie, un double dosage pour confirmer les résultats d’un simple dosage.
On retient la moyenne des deux résultats à condition qu’ils soient concordants.
(cf Logigramme : norme ISO 5725-6 (F))
moyenne et concordance
Soit (Y1 , Y2) les variables aléatoires associant les résultats des premier et second dosages.
On conçoit, pour décrire la situation, les 2 applications suivantes :
\displaystyle{(Y_{1}\;,Y_{2})} \longmapsto\overline{Y} et \displaystyle{(Y_{1}\;,Y_{2})}\longmapsto D
avec \displaystyle \overline{Y}=\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2} (la moyenne des 2 résultats) et \displaystyle{D}={Y_{1}-Y_{2}} (la différence entre les 2 résultats)
Les variables aléatoires Y1 et Y2 sont ici dans le contexte, indépendantes et de même loi normale :
\displaystyle{Y_1} \hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\sigma) et \displaystyle{Y_2} \hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\sigma)
La stabilité de la loi normale nous assure que les variables aléatoires induites \displaystyle \overline{Y} et \displaystyle{D} suivent bien une loi normale. Reste à évaluer leurs paramètres : détail
\displaystyle {E(\overline{Y})}=\mu et \displaystyle {E(D)}=0
\displaystyle {V(\overline{Y})}=\frac{\sigma^2}{2} et \displaystyle {V(D)}=2\sigma^2
En conclusion,
| \displaystyle{\overline{Y}} \hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\frac{\sigma}{\sqrt{2}}) et \displaystyle{D} \hookrightarrow\mathcal{N}(0\;;\;\sigma\sqrt{2}) |
A.N. On sait que pour toute variable X suivant la loi normale N (μ ; σ’) la probabilité de l’événement :
\displaystyle {X\;\in\big[\mu-2\sigma^{\prime} \;;\;\mu-2\sigma^{\prime}\;\big]}
est légèrement supérieure à 95%.
Ici pour la variable \displaystyle{D}={Y_{1}-Y_{2}}, on a \displaystyle {\mu}=0\;\;et\;\;\sigma^{\prime}=\sigma\sqrt{2}
et DONC dans au moins 95% des cas l’étendue (l’écart entre les deux résultats) est inférieure à \displaystyle 2\sqrt{2}\times\sigma.
\displaystyle{|Y_{1}-Y_{2}|\le2\sqrt{2}\times\sigma}
\displaystyle 2\sqrt{2}\;\approx\;2,8
C’est la valeur retenue dans le logigramme qui indique clairement que les deux résultats sont jugés concordants dès que l’étendue (l’écart entre les 2 résultats) est inférieure à l’étendue critique 2,8 σ.