Soit \displaystyle \big(Y_1,Y_2\big) deux variables aléatoires indépendantes de même loi normale :
\displaystyle{Y_1} \hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\sigma) et \displaystyle{Y_2} \hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\sigma)
par conséquent : \displaystyle E(Y_1)=E(Y_2)=\mu et \displaystyle V(Y_1)=V(Y_2)=\sigma^2
-
la moyenne des 2 variables aléatoires : \displaystyle \overline{Y}=\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2}
Espérance mathématique
\displaystyle E(\overline{Y})=E(\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2})
\displaystyle E(\overline{Y})=\frac{1}{2}\times\big(E(Y_{1})+E(Y_{2})\big) Propriété 1&2
\displaystyle E(\overline{Y})=\frac{1}{2}\times(\mu+\mu)=\mu
Variance
\displaystyle V(\overline{Y})=V(\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2})
\displaystyle V(\overline{Y})=\frac{1}{2^2}\times\big(V(Y_{1})+V(Y_{2})\big) Propriété 4&5
\displaystyle V(\overline{Y})=\frac{1}{4}\times(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{\sigma^2}{2}
\displaystyle V(\overline{Y})=(\frac{\sigma}{\sqrt{2}})^2
| \displaystyle \overline{Y}\hookrightarrow\mathcal{N}(\mu\;;\;\frac{\sigma}{\sqrt{2}}) |
-
la différence des variables aléatoires : \displaystyle{D}={Y_{1}-Y_{2}}
Espérance mathématique
\displaystyle E(D)=E(Y_{1}-Y_{2})
\displaystyle E(D)=E(Y_{1})-E(Y_{2}) Propriété 3
\displaystyle E(D)=\mu-\mu=0
Variance
\displaystyle V(D)=V(Y_{1}-Y_{2})\displaystyle V(D)=V(Y_{1}+(-Y_{2}))
\displaystyle V(D)=V(Y_{1})+(-1)^2\times V(Y_{2}) Propriété 6
\displaystyle V(D)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2
\displaystyle V(D)=(\sigma\times\sqrt{2})^2
| \displaystyle D\hookrightarrow\mathcal{N}(0\;;\;\sigma\times\sqrt{2}) |