Parlons stratégies de pesées !
Considérons une balance à deux plateaux dont la précision est caractérisée par :
σ = 1,4 g. (écart-type de la répétabilité)
On souhaite peser 2 objets, l’objet A et l’objet B. Comment s’organiser !
- On considère X1 la variable indiquant par un code « la place » de l’objet A dans la pesée :
X1 ∈{-1, 1, 0} [ 0 si l’objet ne participe pas à la pesée ; -1 ou 1 suivant le plateau utilisé.]
Idem X2
- On considère Y1 la variable aléatoire associant le résultat de la 1ère pesée.
Idem Y2
Comparaison de 2 stratégies de pesées
Stratégie 1
| Plan 1 | X1 | X2 | ↓ résultats |
| Pesée n°1 | 1 | 0 | Y1 |
| Pesée n°2 | 0 | 1 | Y2 |
| masses → | mA | mB |
Les objets A et B sont pesés séparément.
La masse mA de l’objet A est donc le résultat attendu de Y1 (première pesée).
De même, la masse mB de l’objet B est le résultat attendu de Y2 (deuxième pesée).
On formalise la situation en écrivant : (E signifie « espérance mathématique »)
\bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A=E(Y_1)\\ m_B=E(Y_2)\end{array}
La pesée n’est pas « parfaite », est entachée d’une marge d’erreur : σ = 1,4 g. (précision de la balance)
Les masses des objets A et B résultant d’une pesée chacun sont donc obtenues à ±1,4 g.
Stratégie 2
| Plan 2 | X1 | X2 | ↓ résultats |
| Pesée n°1 | 1 | 1 | Y1 |
| Pesée n°2 | 1 | -1 | Y2 |
| masses → | mA | mB |
Les objets A et B participent aux 2 pesées et sont donc pesés 2 fois.
On formalise la situation en écrivant le système : (E signifie « espérance mathématique »)
\bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A+m_B=E(Y_1)\\ m_A-m_B=E(Y_2)\end{array} que l’on résout : \bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A=\frac{E(Y_1)+E(Y_2)}{2}\\ m_B=\frac{E(Y_1)-E(Y_2)}{2}\end{array}
Les propriétés de l’opérateur E conduisent à :
\bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A=E(\frac{Y_1+Y_2}{2})\\ m_B=E(\frac{Y_1-Y_2}{2})\end{array}
m_A est la valeur attendue de la demi-somme des 2 pesées.
m_B est la valeur attendue de la demi-différence des 2 pesées.
Les objets A et B participent aux 2 pesées ; leurs masses sont donc obtenues avec une meilleure précision en l’occurrence à ±1 g. (la marge d’erreur est divisée par \sqrt 2 Preuve)
On ne réalise que 2 pesées et tout se passe comme si on en avait réaliser 4 !
2 pour peser l’objet A et 2 pour peser l’objet B : soit une « économie » de 2 pesées.D’une manière générale, la pertinence d’un plan d’expérience repose sur cette optimisation : pour une précision donnée, réaliser le moins de mesures possibles.
Une expérience : quatre objets ont été pesés
Afin d’obtenir les masses des objets A, B, C et D, quatre pesées sont réalisées selon le plan et les résultats suivants :
| Plan | X1 | X2 | X3 | X4 | ⇓ résultats |
| Pesée n°1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 g |
| Pesée n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | 30 g |
| Pesée n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | -10 g |
| Pesée n°4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 60 g |
| masses → | mA | mB | mC | mD |
Déterminons la masse de chaque objet.
On a : \Bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A-m_B-m_C+m_D=0\\m_A+m_B-m_C-m_D=30\\m_A-m_B+m_C-m_D=-10\\m_A+m_B+m_C+m_D=60\end{array}
Les masses s’obtiennent aisément par addition membre à membre après avoir appliqué à chaque ligne du système les coefficients 1 ou (-1) de la colonne correspondante. Ne pas oublier de diviser par 4.
C’est une véritable curiosité numérique qui sera largement reprise dans la suite.
| \begin{array}{l} m_A=\frac{1\times 0+1\times 30+1\times(-10)+1\times60}{4}=20 g\\\\m_B=\frac{(-1)\times 0+1\times 30+(-1)\times (-10)+1\times 60}{4}=25 g\\\\m_C=\frac{(-1)\times 0+(-1)\times 30+1\times (-10)+1\times 60}{4}=5 g\\\\m_D=\frac{1\times 0+(-1)\times 30(-1)\times (-10)+1\times 60}{4}=10 g\end{array} |
4 pesées seulement et à chaque pesée, les quatre objets participent ! Tout se passe comme si on en avait réaliser 16 !
(une « économie » de 12 pesées)
Les masses sont obtenues à ±0,7 g. La marge d’erreur est réduite de moitié. preuve
Résumé :