Les 2 variables aléatoires \displaystyle \big(Y_1,Y_2\big) associant les 2 pesées sont indépendantes et de même variance σ2 :
\displaystyle V(Y_1)=V(Y_2)=\sigma^2
D’une manière générale, en notant V l’opérateur qui, à une variable aléatoire X associe sa variance V(X), on a les propriétés suivantes :
| (1) \displaystyle V(aX)=a^2V(X)\;\;\;\;\;a\in\mathbb{R} (2) \displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)\;\;\;\;\;X\;et\;Y\; étant indépendantes |
on a : (les masses)
\bigg\lbrace \begin{array}{l} m_A=E(\frac{Y_1+Y_2}{2})\\ m_B=E(\frac{Y_1-Y_2}{2})\end{array}
et calculons alors les variances :
\bigg\lbrace \begin{array}{l} V(\frac{Y_1+Y_2}{2})=\frac{1}{2^2}V(Y_1+Y_2)=\frac{V(Y_1)+V(Y_2)}{4}=\frac{\sigma^2+\sigma^2}{4}=\frac{\sigma^2}{2}\\ V(\frac{Y_1-Y_2}{2})=\frac{1}{2^2}V(Y_1-Y_2)=\frac{V(Y_1)+V(-Y_2)}{4}=\frac{V(Y_1)+(-1)^2V(Y_2)}{4}=\frac{\sigma^2+\sigma^2}{4}=\frac{\sigma^2}{2}\end{array}
L’écart type est la racine carrée de la variance d’où en conclusion :
|
La masse de l’objet A (idem la masse de l’objet B) : |
Application numérique : σ = 1,4 g et \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{2}}= 1 g
cqfd.