On dénombre 4 pesées et on note \displaystyle \big(Y_1,Y_2,Y_3,Y_4\big) les 4 variables aléatoires indépendantes retournant ces 4 pesées.
Chaque pesée est entachée d’une erreur : σ = 1,4 g
D’où l’expression de la variance : \displaystyle V(Y_1)=V(Y_2)=V(Y_3)=V(Y_4)=\sigma^2
La masse m d’un objet est la valeur attendue ou espérance mathématique d’une moyenne pondérée de ces 4 pesées indépendantes : \displaystyle m=E\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4}{4}\big)
Il ne reste qu’à évaluer la variance suivante : \displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4}{4}\big)
Rappelons le propriétés de la variance
En notant V l’opérateur qui, à une variable aléatoire X associe sa variance V(X), on a les propriétés suivantes :
| (1) \displaystyle V(aX)=a^2V(X)\;\;\;\;\;a\in\mathbb{R} (2) \displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)\;\;\;\;\;X\;et\;Y\; étant indépendantes |
DONC : \displaystyle V(\pm X)=(\pm 1)^2V(X)=V(X) propriété (1)
AINSI :
- \displaystyle V\big(Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\big)=V(Y_1)+V(Y_2)+V(Y_3)+V(Y_4)=4\sigma^2 propriété (2)
- \displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4}{4}\big)=\frac{1}{16}\big(V(Y_1)+V(Y_2)+V(Y_3)+V(Y_4)\big) propriété (1)
- \displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4}{4}\big)=\frac{\sigma^2}{4}=\big(\frac{\sigma}{2}\big)^2
ET D’AUTRE PART : la variance est le carré de l’écart type
l’écart type se réduit de « moitié » ; se réduit à \displaystyle \frac{\sigma}{2}=\frac{1,4}{2}=0,7 g