la matrice d’expériences
Rappelons que l’on étudie l’influence de n facteurs sur une réponse expérimentale Y.
On arrête 2 niveaux notés {-,+} pour chacun des n facteurs F1 , F2 , F3 … Fn .
Il y a 2n combinaisons formant les différentes expériences à réaliser, rangées ici dans l’ordre de l’algorithme de Yates. (conseillé)
| Yates | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | … | Fn |
| première |
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°2 |
+
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°3 |
–
|
+
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°4 | + | + |
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°5 | – |
–
|
+ |
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°6 | + | – | + |
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°7 |
–
|
+
|
+ |
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°8 | + | + | + |
–
|
–
|
–
|
–
|
– |
| n°9 | – |
–
|
– | + |
–
|
–
|
–
|
– |
| … | … | |||||||
| dernière | + | + | + | + | + | + | + | + |
Le cas n=3 : la matrice d’expériences et les 8 réponses
L’expérimentateur va donc procéder à 8 expériences dont les résultats forment une suite de 8 variables aléatoires indépendantes : ( Y1 , Y2 , Y3 , Y4 , Y5 , Y6 , Y7 , Y8 )
n^01 \;: \;\displaystyle\overbrace{-,-,-}^{niveaux} \displaystyle\overbrace{Y_1}^{reponse}
n^02 \;: \;\displaystyle{+,-,-}\;\;\;{Y_2}
n^03 \;: \;\displaystyle{-,+,-}\;\;\;{Y_3}
n^04 \;: \;\displaystyle{+,+,-}\;\;\;{Y_4}
n^05 \;: \;\displaystyle{-,-,+}\;\;\;{Y_5}
n^06 \;: \;\displaystyle{+,-,+}\;\;\;{Y_6}
n^07 \;: \;\displaystyle{-,+,+}\;\;\;{Y_7}
n^08 \;: \;\displaystyle{+,+,+}\;\;\;{Y_8}
Le cas n=3 : la matrice des calculs des 8 effets
| Plan 23 | I | X1 | X2 | X3 | X1X2 | X1X3 | X2X3 | X1X2X3 | Y |
| n°1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | Y1 |
| n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | Y2 |
| n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | Y3 |
| n°4 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | Y4 |
| n°5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | Y5 |
| n°6 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | Y6 |
| n°7 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | Y7 |
| n°8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Y8 |
| effets | a0 | a1 | a2 | a3 | a12 | a13 | a23 | a123 |
- On retrouve à l’intérieur la matrice d’expériences avec les variables X1, X2 et X3 qui sont les variables centrées réduites ou normalisées. Elles prennent la valeur -1 au niveau bas noté – et 1 au niveau haut noté + des 3 facteurs.
- On retrouve le facteur « neutre » avec la variable I qui prend systématiquement la valeur 1.
- On retrouve les interactions avec les variables « produit » . Les interactions sont donc traitées comme des nouveaux facteurs.
| Le modèle mathématique utilisé est le polynôme :
Y = a0+a1X1+a2X2+a3X3+a12X1X2+a13X1X3+a23X2X3+a123X1X2X3 |
appliquons-le à chacune des 8 réponses, on obtient donc un système d’équations :
a0-a1-a2-a3+a12+a13+a23-a123 = E(Y1)
a0+a1-a2-a3-a12-a13+a23+a123 = E(Y2)
a0-a1+a2-a3-a12+a13-a23+a123 = E(Y3)
a0+a1+a2-a3+a12-a13+a23-a123 = E(Y4)
a0-a1-a2+a3+a12-a13-a23+a123 = E(Y5)
a0+a1-a2+a3-a12+a13-a23-a123 = E(Y6)
a0-a1+a2+a3-a12-a13+a23-a123 = E(Y7)
a0+a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123 = E(Y8)
qui se résout très simplement à la main : pour obtenir un effet donné
- repérer sa colonne dans la matrice
appliquer les coefficients de celle-ci aux 8 lignes du système - additionner membre à membre
- diviser par 8
Il est important de remarquer que le système admet une solution unique.
estimation ponctuelle de l’effet a0
\displaystyle a_0=\frac{E(Y1)+E(Y2)+E(Y3)+E(Y4)+E(Y5)+E(Y6)+E(Y7)+E(Y8)}{8}\displaystyle a_0=E\bigg(\frac{Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6+Y7+Y8}{8}\bigg)
L’effet a0 est la valeur attendue de la moyenne des 8 variables aléatoires. C’est donc un estimateur de a0 non biaisé.
| Une estimation ponctuelle de l’effet a0 est donc la moyenne des 8 réponses réalisées. |