| Un intervalle de confiance de l’effet a1 du facteur F1 |
On note \displaystyle \big(Y_1..Y_8\big) la suite des 8 variables aléatoires indépendantes retournant les 8 mesures de viscosité.
Chaque mesure est entachée d’une erreur : σ
D’où l’expression de la variance pour chaque mesure Yk :
\displaystyle k\in\llbracket 1..8\rrbracket \;\; V(Y_k)=\sigma^2
L’effet a d’un facteur est la valeur attendue ou espérance mathématique d’une moyenne pondérée de ces 8 mesures indépendantes :
\displaystyle a=E\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\pm Y_5\pm Y_6\pm Y_7\pm Y_8}{8}\big)
Il ne reste qu’à évaluer la variance suivante :
\displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\pm Y_5\pm Y_6\pm Y_7\pm Y_8}{8}\big)
Rappelons le propriétés de la variance
En notant V l’opérateur qui, à une variable aléatoire X associe sa variance V(X), on a les propriétés suivantes :
| (1) \displaystyle V(aX)=a^2V(X)\;\;\;\;\;a\in\mathbb{R} (2) \displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)\;\;\;\;\;X\;et\;Y\; étant indépendantes |
DONC : \displaystyle V(\pm X)=(\pm 1)^2V(X)=V(X) propriété (1)
AINSI :
- \displaystyle V\big(Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\pm Y_5\pm Y_6\pm Y_7\pm Y_8\big)=\sum_{i=1}^{8}V(Y_i)=8\sigma^2 propriété (2)
- \displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\pm Y_5\pm Y_6\pm Y_7\pm Y_8}{8}\big)=\frac{1}{64}\sum_{i=1}^{8}V(Y_i) propriété (1)
- \displaystyle V\big(\frac{Y_1\pm Y_2\pm Y_3 \pm Y_4\pm Y_5\pm Y_6\pm Y_7\pm Y_8}{8}\big)=\frac{\sigma^2}{8}=\big(\frac{\sigma}{\sqrt8}\big)^2
| L’écart type de la variable aléatoire retournant l’effet a d’un facteur est égal à \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt8} où σ est l’écart type de la mesure de la viscosité. A.N. un intervalle de confiance de l’effet du facteur F1A partir du plan complet, on a : σ = 2,2 et l’effet du facteur F1 observé égal à 8. Le plan complet fournira l’intervalle de confiance I de l’effet a1 au seuil de 95% suivant : I = \displaystyle\Big[{8-2\times}\frac{2,2}{\sqrt8}\;\;;\;\; {8 +2\times}\frac{2,2}{\sqrt8}\Big] I = [6,4 ; 9,6] |