Preuve B :
SCE =\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\widehat{y_i})^2
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-(ax_i+b))^2
or, nous avons montré qu’il fallait choisir : \displaystyle b =\bar y-a\bar x donc :
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-(ax_i+(\bar y-a\bar x)))^2
SCE = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}( (y_{i}-\bar y)- a(x_i-\bar x))^2
SCE = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} ((y_{i}-\bar y)^2- 2a(x_i-\bar x)(y_{i}-\bar y)+(a(x_i-\bar x))^2)
C’est un polynôme P(a) du second degré que l’on peut ordonner :
SCE = \displaystyle [\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x))^2]\; a^2- 2[\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_{i}-\bar y)]\;a\;+\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\bar y)^2
Rappelons que le polynôme P(X) = aX²+bX+c avec a>0
atteint son minimum lorsque \displaystyle X=-\frac{b}{2a}
Et donc, SCE atteint son minimum lorsque :
a = \displaystyle -\frac{-2\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{2\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x))^2}
| a = \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x))^2} | cqfd. |