Soit une suite de n variables aléatoires indépendantes :
\displaystyle \big(X_1,X_2,..,X_i,..,X_n\big)
de même espérance mathématique μ et de même variance σ2.
En notant V l’opérateur qui, à une variable aléatoire X associe sa variance V(X), on a les propriétés suivantes :
| (1) \displaystyle V(aX)=a^2V(X)\;\;\;\;\;a\in\mathbb{R} (2) \displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)\;\;\;\;\;X\;et\;Y\; étant indépendantes |
DONC D’UNE PART :
\displaystyle V\big(X_1+X_2+..+X_n\big)=V(X_1)+V(X_2)+..+V(X_n) propriété (2)
\displaystyle V\big(X_1+X_2+..+X_n\big)=\sigma^2+\sigma^2+..+\sigma^2=n\times\sigma^2
ET D’AUTRE PART :
\displaystyle V\big(\frac{X_1+X_2+..+X_n}{n}\big)=\frac{V(X_1+X_2+..+X_n)}{n^2} propriété (1)
AINSI :
En posant \displaystyle\bar X=\frac{X_1+X_2+..+X_n}{n} , on a : \displaystyle V(\bar X)=\frac{n\times\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}
EN CONCLUSION :
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La variance des moyennes \displaystyle v\;=\;\frac{\sigma^2}{n} L’écart type des moyennes \displaystyle \sigma^\prime\;=\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} |