démonstration

 

Récapitulons les notations  :

indice k →	1	2	.. k ..	p
sous-population  Ek	E1	E2	.. Ek ..	Ep
taille nk	n1	n2	.. nk ..	np
moyenne \displaystyle \bar x_k	\displaystyle \bar x_1	\displaystyle \bar x_2	.. \displaystyle \bar x_k ..	\displaystyle \bar x_p

\displaystyle x_{ik} est la valeur observée du \displaystyle i^{eme} individu de la sous-population \displaystyle E_{k} et la variance de la population est donc : \displaystyle \frac1N\sum_{i,j}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}
avec

•  N : le nombre d’individus de la population P :  \displaystyle N=\sum_{k=1}^pn_k
• \displaystyle\overline{\overline x} : la moyenne observée sur toute la population P ; c’est aussi la « moyenne des moyennes » : \displaystyle\overline{\overline x}=\frac1N\sum_{k=1}^p{n_{k}\overline{x_k}}

————–

Pour calculer la variance de P, il faut évaluer  \displaystyle \sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}  (=SCE)
Les observations sont consignées dans un tableau à double entrée :

les 2 indices k → i ↓	1	.. k ..	p
1		:
… i …		\displaystyle x_{ik}
nk

Débutons…

\displaystyle \sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}=\sum_{k=1}^p (\sum_{i=1}^{n_k}(x_{ik}-\bar{\bar x})^2)        (1)

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La somme « double » \displaystyle \sum_{i,k} n’exigeant aucun ordre dans le « balayage » des \displaystyle x_{ik} est réorganisée en privilégiant la somme des termes de la sous-population \displaystyle E_{k} :

\displaystyle \sum_{k=1}^p (\sum_{i=1}^{n_k}…

————–
Appliquons le théorème de Pythagore dans chaque sous-population E_k:

On sait que le point A est le projeté orthogonal du point M  sur la bissectrice, et donc :

MN² = MA² + AN^2
—-  

Rappelons la distance euclidienne… dans un espace rapporté à un repère orthonormé…

AB²=\displaystyle (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2{+;..}    avec  A (\displaystyle x_A;y_A;{;..} )  et B(\displaystyle x_B;y_B;{;..}).

et qu’un point de la bissectrice a toutes ses coordonnées égales !

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MN² = MA² + AN²      avec A et N sur la bissectrice…

\displaystyle \sum_{i=1}^{n_k}(x_{ik}-\bar{\bar x})^2=\sum_{i=1}^{n_k}(x_{ik}-\bar x_k)^2+\sum_{i=1}^{n_k}(\bar x_k-\bar{\bar x})^2

que l’on reporte dans l’expression initiale (1) :

\displaystyle \sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}=\sum_{k=1}^p \bigg(\sum_{i=1}^{n_k}(x_{ik}-\bar x_k)^2+\sum_{i=1}^{n_k}(\bar x_k-\bar{\bar x})^2\bigg) \displaystyle \sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}=\sum_{k=1}^p\sum_{i=1}^{n_k}(x_{ik}-\bar x_k)^2+\sum_{k=1}^p{n_k}(\bar x_k-\bar{\bar x})^2 \displaystyle \sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}=\sum_{i,k}(x_{ik}-\bar x_k)^2+\sum_{k=1}^p{n_k}(\bar x_k-\bar{\bar x})^2

 

En divisant chaque membre par l’effectif total N, apparaît :

une relation	\displaystyle\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2
\displaystyle\sigma^2 : variance de la population	\displaystyle\sigma^2=\frac1N\sum_{i,k}{(x_{ik}-\bar{\bar x})^2}
\displaystyle\sigma_1^2 : variance intra-(populations)	\displaystyle\sigma_1^2=\frac1N\sum_{i,k}(x_{ik}-\bar x_k)^2
\displaystyle\sigma_2^2 : variance inter-(populations)	\displaystyle \sigma_2^2=\frac1N\sum_{k=1}^p{n_k}(\bar x_k-\bar{\bar x})^2

v= variance

vINTRA+vINTER = vTOTALE

Autre version de ce même résultat.