Rappelons une propriété simple permettant de manipuler les sommes :
\displaystyle \sum_{i=1}^n(ax_i+b)=a(\sum_{i=1}^nx_i)+nb
Preuve A:
SCE =\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-\widehat{y_i})^2
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-(ax_i+b))^2
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i-b)^2
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} ((y_{i}-ax_i)^2-2b(y_{i}-ax_i)+b^2)
SCE=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i)^2-2b\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i)+nb^2
C’est un polynôme P(b) du second degré que l’on peut ordonner :
SCE = \displaystyle nb^2-2b\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i)+\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i)^2
Rappelons que le polynôme P(X) = aX²+bX+c avec a>0
atteint son minimum lorsque \displaystyle X=-\frac{b}{2a}
Et donc, SCE atteint son minimum lorsque :
b = – \displaystyle -\frac{-2\sum_{i=1}^{n} (y_{i}-ax_i)}{2n}
b = \displaystyle\frac {1}{n}(\sum_{i=1}^n y_i)-a (\frac {1}{n}\sum_{i=1}^n x_i)
cqdf.