un problème posé par une unité de fabrication de peintures
La couleur du produit doit être la plus faible possible. On mesure cette couleur grâce à un indice appelé indice de couleur. Les réactions chimiques nécessaires à la fabrication du produit mettent en jeu plusieurs facteurs.
Les spécialistes pensent que les facteurs qui peuvent être influents sur la couleur du produit final sont
- le facteur A : température de la réaction,
- le facteur B : origine des matières premières, ( 2 fournisseurs )
- le facteur C : vitesse d’agitation,
- le facteur D : durée du stockage,
- le facteur E : nature de l’additif.
Ils entreprennent la mise en place d’un plan d’expérience afin de mettre en évidence ou non, une relation entre la couleur du produit d’une part et les différents facteurs d’autre part.
notations
L’indice de la couleur du produit est une grandeur quantitative. C’est la réponse expérimentale notée dans la suite Y.
L’expérimentateur arrête 2 niveaux par facteur notés {-,+}. On introduit les variables X1, X2, X3, X4 et X5 qui sont normalisées et associées aux facteurs A, B, C, D et E. Elles prennent la valeur -1 au niveau bas (-) du facteur et +1 au niveau haut du facteur (+).
un plan fractionnaire plutôt qu’un plan complet
On dénombre 5 facteurs à 2 niveaux. Un plan complet nécessiterait donc 25 essais ie 32. Mais les responsables ne veulent pas faire tous les essais.
Ils décident de commencer par faire un plan initial de 8 essais.
Le plan initial se construit en choisissant deux interactions d’un plan de base 23 que l’on confond avec les deux facteurs D et E restants. [appelés alias]. C’est le choix de l’expérimentateur que l’on formalise.
| D = ABC soit X4 = X1X2X3 |
| E = AC soit X5 = X1X3 |
la matrice d’expériences du plan initial : 8 essais
| matrice | A | B | C | D ABC |
E AC |
| 1) | – | – | – | – | + |
| 2) | + | – | – | + | – |
| 3) | – | + | – | + | + |
| 4) | + | + | – | – | – |
| 5) | – | – | + | + | – |
| 6) | + | – | + | – | + |
| 7) | – | + | + | – | – |
| 8) | + | + | + | + | + |
les réponses
Les indices de couleur obtenus sont consignés dans la liste ordonnée suivante :
27,4 31,1 26,6 32,4 31,4 16,5 27,5 15,5 (ordre de Yates) :
la matrice des calculs des effets
Il y a en tout 32 actions et interactions entre les différents facteurs et par conséquent 32 effets à estimer. Le plan fractionnaire envisagé ne comporte que 8 expériences (ou mesures)
Il est donc nécessaire de les regrouper !
Voir le détail des 32 actions et interactions
Voir la manière de générer les 8 groupes de 4
Ci-dessous la matrice des calculs du plan initial : (feuille excel)
On extrait le tableau des effets des 5 facteurs {A,B,C,D,E} :
| Facteurs | A et 3 alias |
B et 3 alias |
C et 3 alias |
D ABC et 2 alias |
E AC et 2 alias |
| Effets | -2,175 | -0,55 | -3,325 | 0,1 | -4,55 |
Les facteurs B et D semblent peu influents sur l’indice de couleur. Les facteurs C et E, semblent au contraire, très influents.
Mais ces effets tiennent compte de l’effet du facteur et de ses alias : il y a donc confusion…
Pour lever ces ambiguïtés, l’expérimentateur va mettre en place un plan complémentaire de manière à distinguer l’effet du facteur de celui des alias.
-4,55 est l’effet observé le plus important. Il réunit l’effet du facteur E, de l’interaction AC et de 2 alias. Il s’agit de distinguer l’effet du facteur E de celui de l’interaction AC.
La méthode consiste à modifier l’alias du plan initial E = AC par E = -AC et de proposer 8 autres essais.
La répartition des 32 actions et interactions est identique mais la moitié se verront affecter du signe –. Des contrastes {c+ ; c–} sont ainsi mis en place. Pour chaque facteur et ses alias,
- le plan initial retourne la somme s des contrastes : s = c+ + c–
- le plan complémentaire retourne la différence d des contrastes : d = c+ – c–
On en déduit :
| \displaystyle c_{+} = \frac{s+d}{2} |
| \displaystyle c_{-} = \frac{s-d}{2} |
la matrice d’expériences du plan complémentaire : 8 essais
| matrice | A | B | C | D ABC |
E -AC |
| 1) | – | – | – | – | – |
| 2) | + | – | – | + | + |
| 3) | – | + | – | + | – |
| 4) | + | + | – | – | + |
| 5) | – | – | + | + | + |
| 6) | + | – | + | – | – |
| 7) | – | + | + | – | + |
| 8) | + | + | + | + | – |
les réponses
Les indices de couleur obtenus sont consignés dans la liste ordonnée suivante :
27 17 23,6 19,1 24,8 34,6 26 26,7 (ordre de Yates)
Ci-dessous la matrice des calculs du plan complémentaire : (feuille excel)
On extrait le tableau des effets des 5 facteurs :
| Facteurs | A et 3 alias |
B et 3 alias |
C et 3 alias |
D ABC et 2 alias |
E -AC et 2 alias |
| Effets | -0,5 | -1 | 3,175 | -1,825 | -3,125 |
Des 2 matrices de calculs (plans initial et complémentaire), on calcule les contrastes :
| Facteurs | A | B |
C AE |
D |
E AC |
| Contrastes c+ | -1,3375 | -0,775 | -0,075 | -0,8625 | -3,8375 |
| Contrastes c– | 0,8375 | -0,225 | 3,25 | -0,9625 | 0,7125 |
conclusion
C’est le facteur E qui produit l’effet et non pas l’interaction AC.
D’autre part, s’élimine le facteur C au profit de l’interaction AE.
La méthode (analyse des contrastes) a été pertinente : un plan initial suivi d’un plan complémentaire adéquat. Elle a permis l’ « économie » de 16 mesures (16 au lieu des 32 prévues dans le plan complet 25).