la viscosité d’un gel cosmétique
On retient 3 facteurs pouvant influencer la viscosité d’un gel cosmétique :
- la température,
- la vitesse de l’agitateur,
- et l’agent de texture : 2 fournisseurs.
On suppose que l’expérimentateur peut agir sur ces facteurs. Ils sont dits « contrôlés » .
L’expérimentateur définit alors son domaine d’étude :
F1 Facteur 1 : la température et l’intervalle expérimental [ 20°C ; 60°C ]
F2 Facteur 2 : la vitesse de l’agitateur et l’intervalle [ 400 tr.min-1 ; 1000 tr.min-1]
F3 Facteur 3 : deux fournisseurs de l’agent de texture et leur désignation { A ; B }
d’autre part la réponse Y est la viscosité η qui s’exprime en Pa.s (Pascal seconde).
un plan complet 23
On distingue 3 facteurs à 2 niveaux et donc 23=8 combinaisons.
Les 8 essais ont donné les résultats consignés dans le tableau suivant :
| F1 en °C | 60 | 60 | 20 | 60 | 60 | 20 | 20 | 20 |
| F2 en tr.min-1 | 400 | 1000 | 1000 | 400 | 1000 | 400 | 400 | 1000 |
| F3 fournisseur | B | A | B | A | B | B | A | A |
| Y viscosité en Pa.s | 112 | 129 | 108 | 117 | 122 | 98 | 97 | 113 |
le modèle appliqué
Y = a0 + a1X1 + a2X2 +a3 X3 + ε
(modèle simple dont on estimera au mieux les quatre coefficients inconnus : a0 ; a1 ; a2 et a3 )
Rappelons que X1 , X2 et X3 sont les variables normalisées : -1 au niveau bas, +1 au niveau haut des facteurs F1 , F2 et F3 .
la matrice des calculs des effets
Dans le modèle utilisé, les effets des interactions sont négligés d’où la construction (incomplète) de la matrice des calculs des effets :
| plan 23 | I | X1 | X2 | X3 | Y |
| n°1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 97 |
| n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | 117 |
| n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | 113 |
| n°4 | 1 | 1 | 1 | -1 | 129 |
| n°5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 98 |
| n°6 | 1 | 1 | -1 | 1 | 112 |
| n°7 | 1 | -1 | 1 | 1 | 108 |
| n°8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 122 |
| effets | a0 | a1 | a2 | a3 | |
| estimations | 112 | 8 | 6 | -2 |
\displaystyle a_0 = \frac{97+117+113+129+98+112+108+122}{8} = 112
\displaystyle a_1 = \frac{-97+117-113+129-98+112-108+122}{8} = 8
\displaystyle a_2 = \frac{-97-117+113+129-98-112+108+122}{8} = 6
\displaystyle a_3 = \frac{-97-117-113-129+98+12+108+122}{8}= -2
Le modèle obtenu permet en autres
- d’estimer la viscosité à 45°C, l’agitateur réglé à 800 tr.min-1 et le fournisseur A choisi, voir
- d’estimer l’erreur de mesure de la viscosité, voir
- de construire un intervalle de confiance d’un effet. voir
les effets des interactions négligés à tort ou à raison ?
Construisons la matrice des calculs de tous les effets :
| plan 23 | I | X1 | X2 | X3 | X1X2 | X1X3 | X2X3 | X1X2X3 | Y |
| n°1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 97 |
| n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 117 |
| n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 113 |
| n°4 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 129 |
| n°5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 98 |
| n°6 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 112 |
| n°7 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 108 |
| n°8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 122 |
| effets | a0 | a1 | a2 | a3 | a12 | a13 | a23 | a123 | |
| estimations | 112 | 8 | 6 | -2 | -0,5 | -1 | -1 | 0,5 |
\displaystyle a_{13} = \frac{97-117+113-129-98+112-108+122}{8} = -1
\displaystyle a_{23} = \frac{97+117-113-129-98-112+108+122}{8} = -1
\displaystyle a_{123} = \frac{-97+117+113-129+98-112-108+122}{8}= 0,5
On peut considérer que les effets des interactions sont faibles. (en valeur absolue inférieurs à 1)
un demi-plan devrait suffire… (plan fractionnaire)
Prenons le plan 22 issu des deux facteurs F1 et F2 :
| plan 22 | I | X1 | X2 | X1X2 | Y |
| 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| 1 | 1 | -1 | -1 | ||
| 1 | -1 | 1 | -1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| effets | a0 | a1 | a2 | a12 |
et traitons le facteur F3 avec l’interaction F1F2 (on dit : aliasés ie X3 = X1X2)
| plan 22 | I | X1 | X2 | X1X2 X3 |
Y |
| 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| 1 | 1 | -1 | -1 | ||
| 1 | -1 | 1 | -1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| effets | a0 | a1 | a2 | a12 a3 |
On génère aisément les autres alias puisque :
I = X3X3 = X1X2X3 on en déduit X1 = X2X3 et X2 = X1X3
Les 4 mesures concernées sont donc les n°5 , n°2 , n°3 et n°8 du plan complet.
| plan 22 | I X1X2X3 |
X1 X2X3 |
X2 X1X3 |
X1X2 X3 |
Y |
| n°5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 98 |
| n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | 117 |
| n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | 113 |
| n°8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 122 |
| effets | a0 a123 |
a1 a23 |
a2 a12 |
a12 a3 |
En négligeant les interactions, on obtient des résultats proches de ceux obtenus avec 8 mesures !
(estimations rappelées en rouge)
| plan 22 | I |
X1 |
X2 |
X3 | Y |
| n°5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 98 |
| n°2 | 1 | 1 | -1 | -1 | 117 |
| n°3 | 1 | -1 | 1 | -1 | 113 |
| n°8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 122 |
| effets estimations estimations |
a0 112,5 112 |
a1 7 8 |
a2 5 6 |
a3 -2,5 -2 |
Le nombre d’essais augmente très rapidement avec le nombre de facteurs : pour seulement 4 facteurs, le plan complet : c’est 24 = 32 essais à réaliser !
L’expérimentateur débutera donc par un plan initial fractionnaire : demi-plan (25-1 = 16), quart de plan (25-2 = 8) selon ses observations, le facteur ou les interactions les moins influents… suivi probablement de mesures complémentaires pour lever les ambiguïtés.