autres processus

exemple 1 : une inflation galopante sur 7 années …

rappel : une hausse de x% sur un montant revient à le multiplier par (1+x%)

i  →	1	2	3	4	5	6	7	\displaystyle\Pi
Inflation de …	0%	100%	200%	300%	400%	800%	1000%	282% moyenne
\displaystyle x_i	1	2	3	4	5	9	11	11880
\displaystyle \bar x	a	a	a	a	a	a	a	11880

Le processus engagé est le produit des termes \displaystyle\big(\Pi x_i \big)

On calcule la valeur a (se substituant aux 7 autres valeurs) et on obtient :

\displaystyle a^7=\prod_{i=1}^7x_i= 11880  donc   \displaystyle \bar x\;=\;a=\sqrt[7]{11880}\approx3,82=1+282%
soit une inflation moyenne égale à 282%. C’est la moyenne géométrique.

 

exemple 2 :  7 changements de vitesse…

rappel : à la vitesse v en km.h^-1 , le temps mis pour parcourir 1 km est  \displaystyle\frac{1}{v} exprimé en h.
A.N.  à la vitesse v = 5 km.h^-1 , pour parcourir  1 km  il faut 0,2 h = 12 min.

i  →	1	2	3	4	5	6	7	\displaystyle\Sigma
à la vitesse \displaystyle x_i en km.h-1	1	2	3	4	5	9	11	moyenne 2,8 km.h-1
le temps mis (pour 1 km) \displaystyle \frac{1}{x_i}	1	\displaystyle \frac{1}{2}	\displaystyle \frac{1}{3}	\displaystyle \frac{1}{4}	\displaystyle \frac{1}{5}	\displaystyle \frac{1}{9}	\displaystyle \frac{1}{11}	\displaystyle \frac{4921}{1980}
\displaystyle\frac{1}{\bar x}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{1}{a}	\displaystyle \frac{4921}{1980}

Le processus engagé est la somme des inverses \displaystyle\big(\sum\frac{1}{x_i} \big)

On calcule la valeur a (se substituant aux 7 autres valeurs) et on obtient :

\displaystyle\frac{7}{a}=\sum_{i=1}^7\frac{1}{x_i}=\frac{4921}{1980}  donc   \displaystyle\bar x\;=\;a=\frac{1980}{703}\approx2,8
soit une vitesse moyenne égale à 2,8 km.h^-1. C’est la moyenne harmonique.

exemple 3 :      7 disques peints

rappel : l’aire d’un disque n’est pas proportionnelle à son rayon, mais à son carré :

\displaystyle A=\pi r^2

i  →	1	2	3	4	5	6	7	\displaystyle\Sigma
à un rayon \displaystyle x_i en dm	1	2	3	4	5	9	11	moyenne 6,1 dm
son carré \displaystyle x_i^2	1²	2²	3²	4²	5²	9²	11²	257
\displaystyle {\bar x}^2	a²	a²	a²	a²	a²	a²	a²	257

Le processus engagé est la somme des carrés \displaystyle\big(\sum{x_i}^2 \big)

On calcule la valeur a (se substituant aux 7 autres valeurs) et on obtient :

\displaystyle{7}{a}^2=\sum_{i=1}^7{x_i}^2=257  donc   \displaystyle\bar x\;=\;a=\sqrt\frac{257}{7}\approx6,1
soit un rayon moyen égal à 6,1 dm. 

C’est la moyenne quadratique des N=7 rayons \displaystyle x_i \;\;i\in\llbracket 1,N\rrbracket :

\displaystyle\bar x\;=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{x_i^2}}
rayon quadratique moyen

Rq : l’écart type est un paramètre statistique très utilisé ; il est calculé selon le même processus :

\displaystyle\sigma_x\;=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{(x_i-\bar x)^2}}
écart quadratique moyen