On considère la fonction SCE de variable réelle x définie par :
SCE(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-x)^2
(Somme des Carrés des Ecarts)
et recherchons le minimum de la fonction.
Méthode 1 : La fonction SCE est un polynôme \displaystyle ax^2+bx+c
(qui admet un minimum en \displaystyle x=-\frac b{2a} à condition que le coefficient a soit positif)
SCE(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-x)^2
SCE(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i^2-2xx_i+x^2)
SCE(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^Nx_i^2-2x\sum_{i=1}^Nx_i+\sum_{i=1}^Nx^2
soit en ordonnant le polynôme :
SCE(x) = \displaystyle Nx^2-2\Big(\sum_{i=1}^Nx_i\Big)x+\Big(\sum_{i=1}^Nx_i^2\Big)=ax^2+bx+c
avec \displaystyle a=N\;\;\;;\;b=-2\Big(\sum_{i=1}^Nx_i\Big)\;\; et \;\;c=\Big(\sum_{i=1}^Nx_i^2\Big)
Le coefficient \displaystyle a=N\;\; est strictement positif donc, la polynôme SCE(x) admet un minimum (et un seul) en
\displaystyle x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\Big(\sum_{i=1}^Nx_i\Big)}{2N}=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i=\bar x
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Le minimum de la fonction SCE est : \displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2 |
cqfd
Méthode 2 : Calculons la dérivée de la fonction SCE :
SCE'(x) = \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^N(x_i-x)^2\Big) {\textquoteright}=\sum_{i=1}^N\Big((x_i-x)^2\Big){\textquoteright}
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : (u+v)’=u’+v’
On sait que : (u²)’=2uu’ donc \displaystyle\Big((x_i-x)^2\Big){\textquoteright}=2(x_i-x)(-1)=-2(x_i-x)
donc :
SCE'(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^N(-2)(x_i-x)=-2\sum_{i=1}^N(x_i-x)=-2\big(\sum_{i=1}^Nx_i-Nx\big)
D’autre part : \displaystyle SCE^{\prime\prime} (x)=(-2)(-N)=2N >0
La dérivée première s’annule en \displaystyle x=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i=\bar x → TANGENTE HORIZONTALE
et la dérivée seconde étant positive → CONCAVITE ORIENTEE VERS (Oy);
la fonction SCE admet bien un seul minimum en \displaystyle x=\bar x
cqfd
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Le minimum de la fonction SCE est : \displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2 |