chercher – MATHEMATIQUES

Il s’agit de chercher une illustration géométrique de la moyenne et de l’écart type.
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Soit $\displaystyle (x_i)$ une série statistique (à valeurs réelles) :

i →	1	2	… i …	N
$\displaystyle x_i$	$\displaystyle x_1$	$\displaystyle x_2$	$\displaystyle {..\;} x_i{\;..}$	$\displaystyle x_N$

Dans un espace : ensemble de points, il est aisé de considérer un point M dont les coordonnées sont les valeurs $\displaystyle (x_i)$ .

i →	1^ère coordonnée	2^ème coordonnée	i^ème coordonnée	N^ème coordonnée
M ( $\displaystyle x_i$ )	$\displaystyle x_1$	$\displaystyle x_2$	$\displaystyle {..\;} x_i{\;..}$	$\displaystyle x_N$

Introduisons le point N (x) dont toutes les coordonnées sont égales à x.

i →	1^ère coordonnée	2^ème coordonnée	i^ème coordonnée	N^ème coordonnée
M ( $\displaystyle x_i$ )	$\displaystyle x_1$	$\displaystyle x_2$	$\displaystyle {..\;} x_i{\;..}$	$\displaystyle x_N$
N (x )	x	x	x	x

Le point N est nécessairement sur la bissectrice, de même que le point O : origine du repère ; et ça donne cette représentation succincte :

TP3_1

On considère la fonction SCE de variable réelle x définie par :

SCE(x) = $\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-x)^2$
(Somme des Carrés des Ecarts)

Conséquences :

SCE(x) = NM² ( cf. distance euclidienne AB² = $\displaystyle (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+..$ )
La fonction SCE admet un seul minimum en $\displaystyle x=\bar x$ . Preuve
Le point A ( $\displaystyle \bar x$ ) est le projeté orthogonal du point M sur la bissectrice.
Représentation visuelle :

Les paramètres statistiques retenus et leurs illustrations :

série statistique

un point M plus ou moins éloigné de la bissectrice

moyenne

paramètre de position, le point A, projeté orthogonal du point M sur la bissectrice

écart type

paramètre de dispersion, directement lié à la distance séparant les points A et M comme suit :

AM²=SCE( $\displaystyle\bar x$ ) : carré de la distance

la série statistique a N valeurs, donc pour une observation, ça donne la variance : $\displaystyle v=\frac{SCE(\bar x)}{N}$
v = Moyenne des Carrés des Ecarts

L’écart type σ, c’est la racine carrée de la variance et s’exprime dans l’unité statistique

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2}$
mean square deviation : écart quadratique moyen

Le calcul de la variance en appliquant le théorème de Pythagore

NM²=NA²+AM²

SCE(x) = $\displaystyle N(\bar x-x)^2$ +SCE( $\displaystyle \bar x$ )

En divisant par l’effectif N :

\displaystyle \frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-x)^2=(\bar x-x)^2+\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2

Donc, pour tout réel x :

variance = $\displaystyle\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2$ = $\displaystyle\Big(\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-x)^2\Big)-(\bar x-x)^2$

En particulier pour x=0 :

$\displaystyle\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2$ = $\displaystyle\Big(\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i^2\Big)-(\bar x)^2$

variance = moyenne(carrés)-carré(moyenne)